Velocidad angular

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\ Vec {F} = m \ vec {a}
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En la física , la velocidad angular es un vector de cantidad (más precisamente, un pseudovector ) que especifica la velocidad angular de un objeto y el eje alrededor del cual el objeto está girando. El SI la unidad de la velocidad angular es radianes por segundo , aunque puede ser medido en unidades tales como grados por segundo, revoluciones por segundo, revoluciones por minuto , grados por hora, etc A veces también se llama la velocidad de rotación y su magnitud la velocidad de rotación , por lo general se mide en ciclos o rotaciones por unidad de tiempo (por ejemplo, las revoluciones por minuto ). Velocidad angular es por lo general representado por el símbolo omega (?, rara vez ?).

La dirección del vector velocidad angular es perpendicular al plano de rotación, en una dirección que se indica habitualmente por la regla de la derecha . [1]

Contenido

[ editar ] La velocidad angular de una partícula

Velocidad angular describe la velocidad de rotación y la orientación del eje instantáneo sobre los cuales la rotación. La dirección de la pseudovector velocidad angular será a lo largo del eje de rotación, en este caso (en sentido antihorario de rotación) el vector apunta hacia arriba.

[ editar ] de partículas en dos dimensiones

La velocidad angular de la partícula en P con respecto al origen O es determinado por la componente perpendicular del vector velocidad v.

La velocidad angular de una partícula en un plano de 2 dimensiones es más fácil de entender. Como se muestra en la figura de la derecha (por lo general expresión de las medidas angulares ? y ? en radianes ), si trazamos una línea desde el origen (O) de la partícula (P), entonces el vector de la velocidad (v) de la partícula tienen un componente a lo largo del radio (componente radial, v ?) y una componente perpendicular al radio (cross-componente radial, v _ \ Perp ). Sin embargo, hay que recordar que el vector de velocidad también puede ser descompuesto en componentes tangencial y normal .

Un movimiento radial no produce ningún cambio en la dirección de la partícula respecto al origen, por lo que para efectos de encontrar la velocidad angular puede ser el paralelo (radial) componente ignorado. Por lo tanto, la rotación es totalmente producido por el movimiento tangencial (como el de una partícula que se mueve a lo largo de una circunferencia), y la velocidad angular está completamente determinado por la perpendicular (tangencial) de los componentes.

Se puede observar que la tasa de cambio de la posición angular de la partícula se relaciona con la velocidad transversal radial por: [1]

\ Mathrm {v} _ \ perp = r \, \ frac {d \ phi} {dt}

La utilización de ?, el ángulo entre los vectores v ? y v, o, equivalentemente, como el ángulo entre los vectores r y v, se obtiene:

\ Mathrm {v} _ \ perp = | \ mathrm {\ vec {v}} | \ \ sin (\ theta).

La combinación de las dos ecuaciones anteriores y la definición de la velocidad angular como ? = d? / dt se obtiene:

\ Omega = \ frac {| \ mathrm {\ vec {v}} | \ sin (\ theta)} {| \ mathrm {\ vec {r }}|}.

En dos dimensiones, la velocidad angular es un número único, que no tiene dirección. Un único número que no tiene sentido o es un escalar o un pseudoescalar , la diferencia es que un escalar no cambia de signo cuando los ejes x e y se intercambian (o invertido), mientras que un pseudoescalar hace. El ángulo y la velocidad angular es un pseudoescalar. El sentido de giro positivo se toma, por convención, para estar en la dirección hacia el eje y del eje x. Si los ejes están invertidos, pero el sentido de rotación no es así, entonces el signo del ángulo de rotación, y por lo tanto la velocidad angular, así, va a cambiar.

Es importante tener en cuenta que la velocidad pseudoescalar angular de una partícula depende de la elección del origen.

[ editar ] de partículas en tres dimensiones

En tres dimensiones, la velocidad angular se convierte en un poco más complicado. La velocidad angular en este caso es generalmente considerado como un vector, o más precisamente, una pseudovector . Ahora no sólo tiene una magnitud, sino una dirección también. La magnitud es la velocidad angular, y la dirección describe el eje de rotación . La regla de la derecha indica la dirección positiva de la pseudovector velocidad angular.

Ser \ Vec u un vector unitario sobre el eje de rotación instantánea, de modo que desde la parte superior del vector de la rotación es contra las agujas del reloj el vector de velocidad angular \ Vec \ omega se puede definir como:

\ Vec \ omega = \ frac {d \ theta} {dt} \ cdot \ vec u

Al igual que en el caso de dos dimensiones, una partícula tendrá un componente de su velocidad a lo largo del radio desde el origen a la partícula, y otra componente perpendicular a la radio. La combinación del punto de origen y la componente perpendicular de la velocidad define un plano de rotación en la que el comportamiento de las partículas (para ese momento) aparece como lo hace en el caso de dos dimensiones. El eje de rotación es entonces una línea perpendicular a este plano, y este eje se define la dirección de la pseudovector velocidad angular, mientras que la magnitud es el mismo que el valor pseudoescalar en el caso de dos dimensiones. Utilizando el vector unitario \ Vec u definido antes, el vector velocidad angular se puede escribir de una manera similar a la de dos dimensiones:

\ Vec \ omega = \ frac {| \ mathrm {\ vec {v}} | \ sin (\ theta)} {| \ mathrm {\ vec {r}} |} \, \ vec u

que, por la definición del producto vectorial , se puede escribir:

\ Vec \ omega = \ frac {\ vec {r} \ times \ vec {v }}{|{ \ vec {r}} | ^ 2}

[ editar ] Suma de vectores de velocidad angular

Es posible definir una operación de suma de vectores de velocidad angular con la composición de movimientos.

Si un punto de gira con ? 2 en un marco de F 2 que a su vez gira con velocidad angular ? 1 respecto de un marco externo F 1, podemos definir la adición de ? 1 + ? 2 como el vector de velocidad angular de la relación punto F 1.

Con esta operación se define de esta manera, la velocidad angular, que es un pseudovector, se convierte también en un vector real, ya que tiene dos operaciones:

Esta es la definición de un espacio vectorial . Por lo tanto pseudovectors son un subconjunto de los vectores reales, a pesar de su nombre sugiere lo contrario. La única propiedad que presenta dificultades de probar es la conmutatividad de la adición. Esto puede ser demostrado por el hecho de que la velocidad del tensor W (ver más abajo) es antisimétrica. Por lo tanto R = e t W es una matriz de rotación y en un tiempo dt es una matriz de rotación infinitesimal. Por lo tanto, se puede ampliar como R = I + W \ cdot dt + {1 \ sobre 2} (W \ cdot dt) ^ 2 + ...

La composición de las rotaciones no es conmutativo, pero cuando son rotaciones infinitesimales a la aproximación de primer orden de la serie anterior se pueden tomar y (I + W_1 \ cdot dt) (I + w_2 \ cdot dt) = (I + W_2.dt) (I + W_1 \ cdot dt) , Y por lo tanto ? 1 + ? 2 = ? 2 + ? 1

[ editar ] Rotación de imágenes

Teniendo en cuenta un marco giratorio compuesto por tres vectores unitarios, los tres deben tener la misma velocidad angular en cualquier instante. En este marco cada vector es un caso particular en el caso anterior (partícula que se mueve), en el que el módulo del vector es constante.

A pesar de que es sólo un caso particular de la anterior, es muy importante para su relación con el cuerpo rígido de estudio y herramientas especiales se han desarrollado para este caso. Hay dos formas posibles para describir la velocidad angular de un sistema rotatorio. El vector de velocidad angular y el tensor de la velocidad angular. Ambas entidades están relacionadas y se pueden calcular unos de otros.

[ editar ] vector de velocidad angular de un marco

Se define como la velocidad angular de cada uno de los vectores de la trama, de una manera coherente con la definición general.

Se sabe por el teorema de rotación de Euler que, para un sistema rotatorio que existe un eje instantáneo de rotación en cualquier instante. En el caso de un marco, el vector de velocidad angular es el eje instantáneo de rotación.

Cualquier sección transversal de un plano perpendicular a este eje tiene que comportarse como una rotación de dos dimensiones. Por lo tanto, la magnitud del vector de velocidad angular en un tiempo dado t es consistente con el caso de dos dimensiones.

La velocidad angular es un vector que define una operación de adición. componentes puede ser calculado a partir de los derivados de los parámetros que definen el marco en movimiento (los ángulos de Euler o las matrices de rotación)

[ editar ] Suma de vectores de velocidad angular en los marcos

Construcción esquemática de la suma de vectores velocidad angular de rotación de los marcos

Como en el caso general, la operación de suma de vectores de velocidad angular se puede definir mediante la composición de movimiento. En el caso de los marcos de la rotación, el movimiento de la composición es más simple que el caso general, porque la matriz final es siempre un producto de las matrices de rotación.

Como en el caso general, además es conmutativa ? 1 + ? 2 = ? 2 + ? 1

[ editar ] Los componentes de los vectores de la trama

Sustituyendo en la expresión

\ Boldsymbol \ omega = \ frac {\ vec {r} \ times \ vec {v}} {| \ mathrm {\ vec {r}} | ^ 2}

cualquier vector e de la estructura se obtiene \ Vec \ omega = \ frac {\ vec {e} \ times \ punto \ vec {e }}{|{ \ vec {e}} | ^ 2} , Y por lo tanto \ Vec \ omega = \ vec {e} _1 \ times \ punto \ vec {e} _1 = \ vec {e} _2 \ times \ punto \ vec {e} _2 = \ vec {e} _3 \ times \ punto \ vec {e} _3

Como las columnas de la matriz de la trama son los componentes de sus vectores, esto permite también calcular ? de la matriz de la trama y sus derivados.

[ editar ] Los componentes de los ángulos de Euler

Diagrama que muestra el marco de Euler en verde

Los componentes de la velocidad angular pseudovector se calcularon por primera vez por Leonhard Euler con sus ángulos de Euler y un marco intermedio hecha de los cuadros intermedios de la construcción:

Euler demostró que las proyecciones de la velocidad angular pseudovector lo largo de estos tres ejes fue la derivada de su ángulo de asociados (lo que equivale a descomponer la rotación instantánea en tres instantáneas rotaciones de Euler ). Por lo tanto, [2] :

\ Omega = \ punto \ alpha \ negrita u_1 + \ punto \ beta \ negrita u_2 + \ punto \ gamma \ negrita u_3

Esta base no es ortonormal y es difícil de usar, pero ahora el vector de velocidad se puede cambiar a la estructura fija o en movimiento a la estructura con sólo un cambio de bases. Por ejemplo, el cambio a la estructura móvil:

\ Omega = (\ punto \ alpha \ sin \ beta \ sin \ gamma + \ punto \ beta \ cos \ gamma) {\ negrita I} + (\ punto \ alpha \ sin \ beta \ cos \ gamma \ punto \ beta \ pecado \ gamma) {\ negrita J} + (\ punto \ alpha \ cos \ beta + \ punto \ gamma) {\ audaz K},

donde IJK son vectores unitarios para el marco fijo en el móvil.

[ editar ] Los componentes de las matrices de rotación infinitesimal

Los componentes del vector velocidad angular se puede calcular a partir de la rotación infinitesimal (si está disponible) de la siguiente manera:

[ editar ] tensor velocidad angular

Puede ser introducido a partir de matrices de rotación. Cualquier vector \ Vec r que gira alrededor de un eje con un vector de velocidad angular \ Vec \ omega (Como se define anteriormente) satisface:

\ Frac {d \ vec r (t)} {dt} = \ vec {\ omega} \ times \ vec {r}

Podemos introducir aquí el tensor de velocidad angular asociada a la velocidad angular ?:

W (t) = \ begin {pmatrix} 0 & - \ omega_z (t) y \ omega_y (t) \ \ \ omega_z (t) & 0 & - \ omega_x (t) \ \ - \ omega_y (t) y \ omega_x (t) y 0 \ \ \ end {pmatrix}

Este tensor W (t), que actúa como si se tratara de un (\ Vec \ omega \ times) operador:

\ Vec \ omega (t) \ times \ vec {r} (t) = W (t) \ vec {r} (t)

Dada la matriz de orientación A (t) de un marco, podemos obtener su velocidad angular instantánea W tensor de la siguiente manera. Sabemos que:

\ Frac {d \ vec r (t)} {dt} = W \ cdot \ vec {r}

Como la velocidad angular debe ser el mismo para los tres vectores de un marco giratorio A (t), podemos escribir para los tres:

\ Frac {dA (t)} {dt} = W \ cdot A (t)

Y por lo tanto el tensor de la velocidad angular que estamos buscando es el siguiente:

W = \ frac {dA (t)} {dt} \ cdot a ^ {-1} (t)

[ editar ] Propiedades de los tensores de la velocidad angular

En general, la velocidad angular en un espacio n-dimensional es la derivada del tensor de desplazamiento angular, que es una segunda fila antisimétrica tensor.

Este tensor W tendrá n (n-1) / 2 componentes independientes, y este número es la dimensión del álgebra de Lie del grupo de Lie de rotaciones de un espacio n-dimensional del producto interno. [3]

[ editar ] exponencial de W

En tres dimensiones la velocidad angular puede ser representado por un pseudovector porque tensores segunda categoría son dos de pseudovectors en tres dimensiones.

Como \ Frac {dA (t)} {dt} = W \ cdot A (t) . Esto puede ser leído como una ecuación diferencial que define una W (t) sabiendo (t).

\ Frac {dA (t)} {A} = W \ cdot {dt}

Y si la velocidad angular es constante, entonces W es también constante y la ecuación puede integrarse. El resultado es:

A (t) = e ^ {W \ cdot t}

lo que demuestra una conexión con el grupo de Lie de las rotaciones.

[ editar ] W es antisimétrica

Es posible demostrar que tensor velocidad angular son sesgar las matrices simétricas . Ser W = \ frac {dR (t)} {dt} \ cdot {R} , Con R (t) una matriz de rotación, y tomando la derivada temporal de \ Mathcal {R} \ begin {R} ^ t :

\ Begin {i} = \ mathcal {R} \ begin {R} ^ t , Ya que R (t) es una matriz de rotación
0 = \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ begin {R} ^ t + \ mathcal {R} \ frac {d \ mathcal {R} ^ t} {dt}

Aplicando la fórmula (AB) t = B t A t:

0 = \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ begin {R} ^ t + \ left (\ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ begin {R} ^ t \ right) ^ t = W + W ^ t

Por lo tanto, W es el negativo de su transposición, lo que implica que es una matriz simétrica de inclinación.

[ editar ] La dualidad respecto al vector de velocidad

El tensor es una matriz con la siguiente estructura:

W (t) = \ begin {pmatrix} 0 & - \ omega_z (t) y \ omega_y (t) \ \ \ omega_z (t) & 0 & - \ omega_x (t) \ \ - \ omega_y (t) y \ omega_x (t) y 0 \ \ \ end {pmatrix}

Ya que es una matriz simétrica inclinación que tiene un vector dual de Hodge , que es precisamente el vector de velocidad angular anterior \ Vec \ omega :

\ Boldsymbol \ omega = [\ omega_x, \ omega_y, \ omega_z]

[ editar ] Coordinar sin descripción

En cualquier instante, t, el tensor de la velocidad angular es una aplicación lineal entre los vectores de posición \ Vec {r} (t) y sus vectores de velocidad \ Vec {v} (t) de un cuerpo rígido que gira en torno al origen:

\ Vec {v} = W \ vec {r}

donde se omite el parámetro t, y lo que se refiere \ Vec {v} y \ Vec {r} como elementos de la misma en 3 dimensiones de espacio vectorial euclídeo V.

La relación entre este mapa lineal y la velocidad angular pseudovector ? es la siguiente.

Debido a W es la derivada de una transformación ortogonal , la

B (\ vec {r}, \ vec {s}) = (W \ vec {r}) \ cdot \ vec {s}

forma bilineal es antisimétrica . (Aquí \ Cdot representa el producto escalar ). Por lo tanto podemos aplicar el hecho de álgebra exterior que hay una única forma lineal L en ? 2 V que

L (\ vec {r} \ wedge \ vec {s}) = B (\ vec {r}, \ vec {s}) ,

donde \ Vec {r} \ wedge \ vec {s} \ in \ lambda ^ 2 V es el producto exterior de \ Vec {r} y \ Vec {s} .

Tomando el vector dual * L de L obtenemos

(W \ vec {r}) \ cdot \ vec {s} = L ^ * \ cdot (\ vec {r} \ wedge \ vec {s})

? la introducción: = * L *, como el dual de Hodge de L *, y aplicar las identidades más dual de Hodge se llega a

(W \ vec {r}) \ cdot \ vec {s} = * (* L * ^ \ wedge \ vec {r} \ wedge \ vec {s}) = * (\ omega \ wedge \ vec {r} \ wedge \ vec {s}) = * (\ omega \ wedge \ vec {r}) \ cdot \ vec {s} = (\ omega \ times \ vec {r}) \ cdot \ vec {s}

donde

\ Omega \ times \ vec {r}: = * (\ omega \ wedge \ vec {r})

por definición.

Porque \ Vec {s} es un vector arbitrario, de no degeneración de producto escalar sigue

W \ vec {r} = \ omega \ times \ vec {r}

[ editar ] La velocidad angular de un campo vectorial

Para la velocidad angular tensor velocidades mapas de las posiciones, es un campo vectorial . En particular, este campo es un vector de campo KV perteneciente a un elemento del álgebra de Lie SO (3) de la 3-dimensional grupo de rotación , SO (3). Este elemento de SO (3) también puede ser considerado como el vector de velocidad angular.

[ editar ] Consideraciones cuerpo rígido

Posición del punto P situado en el cuerpo rígido (en azul). R i es la posición con respecto al marco de laboratorio, centrado en O y r i es la posición con respecto a la estructura de carrocería rígida, centrada en O '. El origen del armazón del cuerpo rígido está en R vector de posición desde el marco del laboratorio.

Las mismas ecuaciones para la velocidad angular se puede obtener más de un razonamiento de rotación del cuerpo rígido . Aquí no se supone que el cuerpo rígido gira alrededor del origen. En su lugar, se puede suponer gira alrededor de un punto arbitrario que se mueve con una velocidad lineal V (t) en cada instante.

Para obtener las ecuaciones es conveniente imaginar un cuerpo rígido a los fotogramas y considerar un sistema de coordenadas que se fija con respecto al cuerpo rígido. A continuación vamos a estudiar las transformaciones de coordenadas entre la coordinación y el sistema fijo de "laboratorio".

Como se muestra en la figura de la derecha, el origen del sistema de laboratorio se encuentra en el punto O, el origen del cuerpo rígido sistema se encuentra en O 'y el vector de O a O' es R. Una partícula (i) en el cuerpo rígido se encuentra en el punto P y el vector de posición de esta partícula es R i en el marco del laboratorio, y en la posición r i en la estructura corporal. Se ve que la posición de la partícula se puede escribir:

\ Mathbf {R} _i = \ mathbf {R} + \ vec {r} _i

La característica definitoria de un cuerpo rígido es que la distancia entre dos puntos en un cuerpo rígido es inmutable en el tiempo. Esto significa que la longitud del vector \ Vec {r} _i es inmutable. Por el teorema de rotación de Euler , podemos reemplazar el vector \ Vec {r} _i con \ Mathcal {R} \ vec {r} {io} donde \ Mathcal {R} es un 3x3 matriz de rotación y \ Vec {r} {io} es la posición de la partícula en algún punto fijo en el tiempo, digamos t = 0. Esta sustitución es útil, porque ahora sólo es la matriz de rotación \ Mathcal {R} que está cambiando en el tiempo y no el vector de referencia \ Vec {r} {io} , Ya que el cuerpo rígido gira alrededor del punto O '. Además, dado que las tres columnas de la matriz de rotación representan los tres versors de un marco de referencia que gira junto con el cuerpo rígido, la rotación sobre cualquier eje se convierte ahora visible, mientras que el vector \ Vec {r} _i no giraría si el eje de rotación se paralela a ella, y por lo tanto sólo se describe una rotación sobre un eje perpendicular a la misma (es decir, que no volvería a ver el componente de la velocidad paralela pseudovector angular a él, y sólo permiten el cálculo de la componente perpendicular a él). La posición de la partícula se escribe ahora como:

\ Mathbf {R} _i = \ mathbf {R} + \ begin {R} \ vec {r} {io}

Tomando la derivada del tiempo se obtiene la velocidad de la partícula:

\ Vec {V} _i = \ vec {V} + \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ vec {r} {io}

donde V i es la velocidad de la partícula (en el marco del laboratorio) y V es la velocidad de O '(el origen del armazón del cuerpo rígido). Desde \ Mathcal {R} es una matriz de rotación de su inversa es su traspuesta. Por lo tanto, sustituir \ Begin {i} = \ mathcal {R} ^ T \ mathcal {R} :

\ Vec {V} _i = \ vec {V} + \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ begin {I} \ vec {r} {io}
\ Vec {V} _i = \ vec {V} + \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ begin {R} ^ T \ mathcal {R} \ vec {r} {io}
\ Vec {V} _i = \ vec {V} + \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ begin {R} ^ T \ vec {r} _ {i}

o

\ Vec {V} _i = \ vec {V} + W \ vec {r} _ {i}

donde W = \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ begin {R} ^ T es el anterior tensor velocidad angular .

Puede ser demostrado que esta es la matriz simétrica inclinación , para que podamos tomar su doble para obtener una pseudovector tres dimensiones que es precisamente el vector de velocidad angular anterior \ Vec \ omega :

\ Boldsymbol \ omega = [\ omega_x, \ omega_y, \ omega_z]

Sustituyendo ? de W en la expresión de la velocidad por encima y la sustitución de la multiplicación de matrices por un producto equivalente cruz:

\ Vec {V} _i = \ vec {V} + \ vec \ omega \ times \ vec {r} _i.

Se puede observar que la velocidad de un punto en un cuerpo rígido se pueden dividir en dos términos - la velocidad de un punto de referencia fijo en el cuerpo rígido, más el término de producto cruzado participación de la velocidad angular de la partícula respecto al punto de referencia . Esta velocidad angular es el "spin" velocidad angular del cuerpo rígido en comparación con la velocidad angular del punto de referencia O 'sobre el origen O.

[ editar ] La consistencia

Hemos supuesto que el cuerpo rígido gira alrededor de un punto arbitrario. Debemos demostrar que la velocidad angular previamente definido es independiente de la elección del origen, lo que significa que la velocidad angular es una propiedad intrínseca del cuerpo rígido girando.

La demostración de la independencia de la velocidad angular de la elección del origen

Ver el gráfico de la derecha: El origen de laboratorio marco es O, mientras que O 1 y O 2 son dos puntos fijos sobre el cuerpo rígido, cuya velocidad es \ Vec {v} _1 y \ Vec {v} _2 , respectivamente. Supongamos que la velocidad angular con respecto a O 1 y 2 O es \ Boldsymbol {\ omega} _1 y \ Boldsymbol {\ omega} _2 , respectivamente. Desde el punto P 2 O y sólo tienen una velocidad,

\ Vec {v} _1 + \ boldsymbol {\ omega} _1 \ times \ vec {r} _1 = \ vec {v} _2 + \ boldsymbol {\ omega} _2 \ times \ vec {r} _2
\ Vec {v} _2 = \ vec {v} _1 + \ boldsymbol {\ omega} _1 \ times \ vec {r} = \ vec {v} _1 + \ boldsymbol {\ omega} _1 \ times (\ vec {r _1} - \ vec {r} _2).

Estos dos rendimientos que

(\ Boldsymbol {\ omega} _1, \ boldsymbol {\ omega} _2) \ times \ vec {r} _2 = 0.

Desde el punto P (y por lo tanto \ Vec {r} _2 ) Es arbitraria, se sigue que

\ Boldsymbol {\ omega} _1 = \ boldsymbol {\ omega} _2.

Si el punto de referencia es el eje instantáneo de rotación de la expresión de la velocidad de un punto en el cuerpo rígido se acaba el plazo de la velocidad angular. Esto se debe a la velocidad del eje instantáneo de rotación es igual a cero. Un ejemplo de eje instantáneo de rotación es la bisagra de una puerta. Otro ejemplo es el punto de contacto de un cuerpo rígido puro rodar esférica.

[ editar ] Véase también

[ editar ] Referencias

  1. ^ un b Hibbeler, Russell C. (2009). Ingeniería Mecánica . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Prentice Hall. p. 314,   (EM1)
  2. ^ KSHEDRIH: Leonhard Euler (1707-1783) y la dinámica de cuerpo rígido
  3. ^ Rotaciones y momento angular en la página de la mecánica clásica de la página web de Juan Baez , en especial las preguntas 1 y 2.

[ editar ] Enlaces externos

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