Pendiente

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La pendiente de una recta en el plano se define como el aumento en el largo, m = ? Y / ? x.

En matemáticas , la pendiente o gradiente de una línea describe su pendiente, la inclinación o grado. Un valor de la pendiente más alta indica una pronunciada pendiente.

La pendiente es (en los términos más sencillos) la medición de una línea, y se define como la relación entre el "ascenso", dividido por el "run" entre dos puntos en una línea, o en otras palabras, la razón de la altitud cambio en la distancia horizontal entre dos puntos cualesquiera de la línea. Dados dos puntos (x 1, y 1) y (x 2, y 2) en una línea, la pendiente m de la línea es

m = \ frac {y_2-y_1} {x_2-x_1}.

A través de cálculo diferencial , se puede calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.

El concepto de pendiente se aplica directamente a los grados o gradientes en la geografía y la ingeniería civil . A través de la trigonometría , el grado m de la carretera está relacionada con su ángulo de inclinación ? por

m = \ tan \ theta. \!

Contenido

[ editar ] Definición

Pendiente ilustrado para y = (3 / 2) x - 1. Haz clic para ampliar

La pendiente de una recta en el plano que contiene los ejes x e y es por lo general representado por la letra m, y se define como el cambio en la coordenada y dividido por el cambio correspondiente en la coordenada x, entre dos puntos distintos en la línea. Esto es descrito por la siguiente ecuación:

m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac {\ text {lugar}} {\ text {}} correr.

(El delta del símbolo " ? ", es comúnmente utilizado en las matemáticas en el sentido de" diferencia "o" cambio ".)

Dados dos puntos (x 1, y 1) y (x 2, y 2), el cambio en x de una a otra es x 2 - x 1 (pista), mientras que el cambio en y es y 2 - y 1 ( lugar). Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación anterior se obtiene lo siguiente:

m = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}.

[ editar ] Ejemplos

Supongamos que una línea funciona a través de dos puntos: P = (1, 2) y Q = (13, 8). Al dividir la diferencia de coordenadas y por la diferencia de coordenadas x, se puede obtener la pendiente de la línea:

m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \ frac {8-2} {13 - 1} = \ frac {6} {12} = \ frac {1} {2}.

La pendiente es \ Textstyle \ frac {1} {2} = 0,5 \, .

Como otro ejemplo, considere una línea que pasa por los puntos (4, 15) y (3, 21). Entonces, la pendiente de la línea es

m = \ frac {21 a 15} {3-4} = \ frac {6} {1} = -6.

[ editar ] Geometría

Cuanto mayor sea el valor absoluto de una pendiente, la más pronunciada de la línea. Una línea horizontal tiene pendiente 0, una línea de 45 ° en alza tiene un pendiente de una, y una línea de 45 ° la caída tiene una pendiente de -1. Pendiente de una línea vertical es indefinida significa que no tiene "pendiente".

El ángulo ? de una línea con el eje x positivo está íntimamente relacionada con la pendiente m a través de la función tangente :

m = \ tan \, \ theta

y

\ Theta = \ arctan \, m

(Ver la trigonometría ).

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales y no son coincidentes, o si ambas son verticales y por lo tanto tienen pendientes indefinido. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1 o se tiene una pendiente de 0 (una línea horizontal) y el otro tiene una pendiente indefinida (una línea vertical). Además, otra manera de determinar una línea perpendicular es encontrar la pendiente de una línea y luego de obtener su recíproco para después invertir su signo positivo o negativo (por ejemplo, una línea perpendicular a una línea de pendiente -2 es +1 / 2).

[ editar ] Pendiente de una carretera o ferrocarril

Artículos principales: grado (pendiente) , la separación de Grado

Hay dos formas comunes para describir cómo una empinada carretera o ferrocarril es. Una de ellas es por el ángulo en grados, y la otra es por la pendiente en porcentaje. Véase también el tren de montaña y cremallera . Las fórmulas para la conversión de una pendiente en forma de porcentaje en un ángulo en grados y viceversa son los siguientes:

\ Texto {ángulo} = \ arctan \ frac {\ text {pendiente}} {100},

y

\ Mbox {} pendiente = 100 \ tan (\ mbox {} ángulo), \,

que el ángulo está en grados y las funciones trigonométricas operan en grados. Por ejemplo, un 100 % o 1,000 pendiente es de 45 °.

Una tercera forma es dar una unidad de aumento de por ejemplo 10, 20, 50 o 100 unidades horizontales, por ejemplo, 1:10. 1:20, 1:50 ó 1:100 (etc.).

[ editar ] Álgebra

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la línea creada por el trazado de la función. Por lo tanto, si la ecuación de la recta está dada en la forma

y = mx + b \,

entonces m es la pendiente. Esta forma de la ecuación de una línea que se llama la forma pendiente-intersección, ya que b puede interpretarse como la intersección de la línea, la coordenada y donde la línea cruza el eje.

Si la pendiente m de una línea y un punto (x 1, y 1) en la línea son conocidos, entonces la ecuación de la recta se puede encontrar utilizando la fórmula punto-pendiente :

y - y_1 = m (x - x_1). \!

Por ejemplo, considere la línea que atraviesa los puntos (2,8) y (3,20). Esta línea tiene una pendiente, m, de

\ Frac {(20 - 8)} {(3 - 2)} \; = 12. \,

Entonces se puede escribir la ecuación de la línea, en forma punto-pendiente:

y - 8 = 12 (x - 2) = 12x - 24 \,

o:

y = 12x - 16. \,

La pendiente de la línea definida por la ecuación lineal

ax + by + c = 0 \,

es la siguiente: - \ Frac {a} {b} \; .

[ editar ] Cálculo

En cada punto, la derivada es la pendiente de una línea que es tangente a la curva . La línea es siempre tangente a la curva azul, su pendiente es la derivada. Derivado de tener en cuenta es positiva donde el verde, negativo en rojo, y cero en negro

El concepto de una ladera es fundamental para el cálculo diferencial . Para funciones no lineales, la tasa de cambio varía a lo largo de la curva. El derivado de la función en un punto es la pendiente de la línea tangente a la curva en el punto, por lo que es igual a la tasa de cambio de la función en ese punto.

Si dejamos que ? ? x e y la distancia (a lo largo de los ejes X e Y, respectivamente) entre dos puntos de una curva, la pendiente dada por la definición anterior,

m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} ,

es la pendiente de una recta secante a la curva. Para una línea, la secante entre dos puntos es la línea en sí misma, pero esto no es el caso de cualquier otro tipo de curva.

Por ejemplo, la pendiente de la secante de intersección y = x 2 en (0,0) y (3,9) es 3. (La pendiente de la tangente en x = 3 / 2 es 3-a consecuencia del teorema de valor medio).

Al mover los dos puntos más cerca, para que ? y ? y disminuir x, la recta secante se aproxima más a una línea tangente a la curva, y como tal, la pendiente de la secante que los enfoques de la tangente. Usando el cálculo diferencial , podemos determinar el límite , o el valor que ? Y / ? x se aproxima como ? ? x y y se acerca a cero, se deduce que este límite es la pendiente exacta de la tangente. Si y es dependiente de x, entonces es suficiente para tomar el límite en el que sólo ? x se aproxima a cero. Por lo tanto, la pendiente de la tangente es el límite de ? y / ? ? x como x se aproxima a cero. Llamamos a este límite de la derivada . yasir

[ editar ] Véase también

[ editar ] Enlaces externos

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